Formlen for beregning volumen

Calculus kan bruges til at finde en række formler for rumfang og areal , men de gamle grækere vidste formler for volumen uden at bruge det. De fandt formler for volumen af den kugle, kegle , pyramide og selv for objekter med mere end fire sider

Square pyramide

Forestil dig en firkant pyramide , med en base af arealet en --- en af faldende areal op til et punkt på toppen . Der er n lag af højden h /n. En pyramide af et stigende antal stadig tyndere lag kan konstrueres således , at højden bliver en konstant alt t.

Den mængde af et sådant stak af kvadrater er ( fra størst til mindst ) summen af areal gange højde hvert niveau : en --- en --- ( h /n ) + [ ( n -1 ) a /n ]---[( n -1 ) en /n ]---( h /n ) + [ ( n -2 ) a /n ]---[( n -2 ) a /N ]---( h /n ) + . . . + [ a /n ]---[ en /n ]---( h /n )=a --- en --- h --- 1 /n --- [ 1 + ( n-1 ) ^ 2 /n ^ 2 + ( n-2 ) ^ 2 /n ^ 2 + . . . + ( 1 /n ) ( 1 /n ) ]

Bemærk at dette kan skrives som en --- en --- h --- 1 /n ^ 3 --- [ »i ^ 2 ] , hvor summation lig n ( n +1 ) ( 2n +1) /6 , som kan bevises ved matematisk induktion . Hvis de niveauer bliver tyndere og tyndere , så er n går mod uendelig . Den primære løbetid på n 's er ( 2n ^ 3 ) /( 6N ^ 3) , som går til 1 /3 som n bliver stor .

Så volumen af pyramiden er en --- a--h /3

Matematisk induktion

At summen af kvadrater 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + . . . + n ^ 2 er lig med n ( n +1 ) ( 2n +1) /6 kan bevises ved matematisk induktion , dvs bevise , at formlen gælder for n=1 . Derefter viser, at hvis det holder for n , så er det gælder for n +1. Derfor er det gælder for alle positive heltal n.

For n=1 , at lighed gælder , er trivielt .

Nu formoder, det gælder for n. Derefter 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + . . . + n ^ 2 + ( n +1 ) ^ 2 er lig med
n ( n +1 ) ( 2n +1) /6 + ( n +1) . Målet er at flytte det ind i skemaet ( n +1) ( ( n +1) +1) ( 2 ( n +1) +1) /6 . Det vil vise , at hvis summen af kvadrater op til n ^ 2 er lig med , n ( n +1) ( 2n +1) /6 , så den samme lighed gælder for n +1.

n ( n +1 ) ( 2n +1) /6 + ( n +1)=( 2n ^ 3 +2 n ^ 2 + n ^ 2 + n ) /6 + n ^ 2 +2 n +1=[ ( 2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n ) + ( 6N ^ 2 12 n +6) ] /6=( 2n ^ 3 +6 n ^ 2 +4 n +3 n ^ 2 9 n +6) /6=( n ^ 2 +3 n +2 ) ( 2n 3 ) /6=( n +1) ( n +2) ( 2 ( n +1) +1) /6
der skulle være bevist .

A generalisering

Bemærk , at mængden af en kvadratisk pyramide er 1 /3 af mængden af en blok af højden h med en kvadratisk base . Formen af basen påvirkede ikke dette resultat . Det er derfor en generalisere resultat .

Det kan bevises, at en figur med samme form for hvert niveau , konvergerende til et punkt på toppen , er 1 /3 af mængden af et tal på samme højde og konstant form størrelse i alle højder .

Derfor opmærksom på, at formlen for en trekantet blok af sider og højde h er ha ^ 2sqrt ( 3 ) /4 . En trekantet pyramide af sider a og højden h er derfor ha ^ 2sqrt ( 3 ) /12 .

Også mængden af en cylinder er pi --- radius ^ 2 --- højde . Rumfanget af en kegle er derfor pi --- radius ^ 2 --- højde /3 .


Kommentarer

Vi ønsker, at dine argumenter og meninger er velkomne. Være objektiv og medfølelse. Mange mennesker læser hvad du skriver. Gør debat til en bedre oplevelse for både dem og dig selv. Mellem 20:00 og 08:00 det er lukket for kommentering og vi fjerner automatisk kommentarer med sjofle ord, defineret af vores moderatorer.

link:

  • Om os
  • Advertising
  • Fortæl redaktionen
  • Få nyhedsbreve
  • RSS-feed

Redaktør: Karin Christofferse
Nyheder redactor: Morten Nyberg

Kundeservice: Stig Ole Salomon,
Flemming Sørensen

Tel: +45 00 99 99 00
Fax: +45 00 99 99 01

© Copyright 2014 Einsten.net - All rights reserved.