hvordan man beregner nulpunkter for polynomier

En enkelt-variabel polynomium er summen af konstant multipla af en variabel hævet til forskellige eksponenter . For eksempel , + 1 x er en første ordens polynomium , fordi den højeste eksponent af x er 1 . 2 +3 x + x ^ 3 er en tredje -ordens polynomium . Den nuller ( eller rødder ) af et polynomium er værdierne for x , hvor polynomiet lig nul . Det nuller af anden orden og lavere polynomier kan løses i hånden ved hjælp af kvadratiske formel . Højere ordens polynomier normalt skal løses med tilnærmelsesvis metoder ved hjælp af en computer .

Du skal bruge:
blyant
. papir .
regnemaskine .
regneark eller programmeringssoftware .

Ved Hand


1 .
Sæt polynomium i form ax ^ 2 + bx + c , hvis polynomiet er anden rækkefølge.
I dette tilfælde , a, b og c er konstanter , og x er en variabel . ( Bemærk , at hvis en=0 , så polynomiet er af første orden, dvs bare en lineær ligning , og kan løses i hånden med grundlæggende aritmetik manipulationer . Med andre ord ,=0 bx + c giver bx=- c , eller x=- c /b. )
2 .
Brug den kvadratiske formel til at løse for de nuller .
den kvadratiske Formlen er x=[-b + /- ¡Ì ( b ^ 2-4ac ) ] /[ 2a ] , som er løsningen til ligningen ax ^ 2 + bx + c=0 . ( Dette kan dokumenteres ved hjælp af metoden for at fuldføre firkanter eller ved at indsætte løsningen i formlen for at se, at det gælder . )
+ /- her betyder " plus eller minus . " Hvis b ^ 2-4ac ikke er lig med nul , ovenstående ligning giver to nuller . (Bemærk , at n-th ordens polynomier har n nuller . )
3
bruger jeg til at repræsentere ¡Ì (-1 ) , hvis b ^ 2-. 4ac <0 .
Dette vil give komplekse numre som nuller af ax ^ 2 + bx + c. Komplekse tal er tal , der omfatter den imaginære tal i. I xy-planen , bx + c kurven for ax ^ 2 + ville ikke røre x- aksen til enhver værdi for x. Derfor nogle matematik bøger kasseres svar som meningsløs . Imidlertid definerer kvadratroden af et negativt tal som produktet af i gange kvadratroden af den absolutte værdi af det antal bliver omkring denne hindring .
For eksempel u221A ( -100 )=u221A (-1 ) --- u221A 100=i --- 10=10i .

Af Computer : . bisektion Metode


1
Bestem to værdier x nær den forventede nul af polynomiet , P ( x ) , således at polynomium er af modsat . tegn på de to punkter
Det vil sige, bør de to værdier x1 og x2 være sådan , at tegnet ( P ( x1 ))=- tegn ( P ( x2 ) )

Derfor vil de to x værdier bundet nul , og P ( x1 ) og P ( x2 ) vil ligge over og under x-aksen , der afgrænser de x-aksen .
2 .

Beregn midtpunkt mellem x1 og x2 .
Med andre ord definerer x3=( x1 + x2 ) /2 .
3 .
Bestem fortegnet for polynomium på x3 , det vil sige tegn på P ( x3 ) .
4 .
kasseres x-værdi , der giver samme tegn som x3 .
For eksempel , hvis x1 og x3 giver samme tegn for P ( x ) , kasseres x1 .
5 .

Beregn midtpunktet af de to tilbageværende x-værdier, som det skete i Trin 2 .
6 .
Hold gentage trin 3-5 , indtil P ( x ) er tættere på nul end nogle tolerance , hvor x er en tilnærmelse af roden i denne region .
Det x , der skubber den absolutte værdi af P ( x ) under denne tolerance niveau , for eksempel , 0 . 001 , er den numeriske tilnærmelse af nul for P ( x ) . Med andre ord , x en har fundet sådan, at | P ( x )-0 | . 7
Derefter gentage ovenstående proces , der starter på trin 1 igen , at finde alle andre nuller af P ( x )
( Bemærk , at n-th ordens polynomier har n nuller . )

Af Computer : . Newton-Raphson


1 .
Løs for differentialkvotienten af polynomium , P ( x ) .
Den monomial af form c --- x ^ n, hvor c og n er konstanter , har afledte cn --- x ^ ( n -1 ) . Den afledte af et polynomium er summen af de afledte former af monomials . Den afledte af en konstant i sig selv er nul , da en konstant graf er flad , det er ikke varierende med x. Så for eksempel , den afledede af P ( x )=2x ^ 2 + 3 er P ` (x )=4x . ( Bemærk mærket af P angiver afledte . )
2 .
Lav en bedste gæt med hensyn til nul af polynomiet , bare for at have et udgangspunkt . Kald det x1
3
Løse x2=x1-. P ( x1 ) /P « ( x1 )
4
Gentag trin . 3 til at producere x3 fra x2 , x4 fra x3 , og så videre .
5 .
Stop iteration ( gentagelse af trin 3 ) efter en x har konstateret, at steder P ( x ) så tæt på nul som ønsket .

Tips og advarsler


  • funktioner f ( x ), som rødder, eller nuller , er at blive fundet behøver ikke at være polynomier . De to numeriske (Computational ) ovennævnte metoder ikke stole på de funktioner , der polynomier og kan anvendes mere generelt .
  • Newton-Raphson metode er dog ikke generalisere til alle funktioner. Funktionen skal være differentiable . Så hvorfor bruge det på alle? Fordi det konvergerer mod nuller hurtigere end halvering metode , hvis funktionen er differentiabel .

  • Kommentarer

    Vi ønsker, at dine argumenter og meninger er velkomne. Være objektiv og medfølelse. Mange mennesker læser hvad du skriver. Gør debat til en bedre oplevelse for både dem og dig selv. Mellem 20:00 og 08:00 det er lukket for kommentering og vi fjerner automatisk kommentarer med sjofle ord, defineret af vores moderatorer.

    link:

    • Om os
    • Advertising
    • Fortæl redaktionen
    • Få nyhedsbreve
    • RSS-feed

    Redaktør: Karin Christofferse
    Nyheder redactor: Morten Nyberg

    Kundeservice: Stig Ole Salomon,
    Flemming Sørensen

    Tel: +45 00 99 99 00
    Fax: +45 00 99 99 01

    © Copyright 2014 Einsten.net - All rights reserved.