hvordan man kan bevise formlen for rumfanget af kasser

I matematik , har udtrykket " kasse "et par forskellige definitioner . Generelt begreb refererer til en solid med seks flade ansigter , otte vertices og 12 kanter . En firkantet pyramide med sit højdepunkt cut off er et eksempel . Udtrykket " kasse "ofte refererer til en snævrere gruppe af faste stoffer , dog med alle modsatte ansigter parallelle-" . parallelepipedum "kaldet en Hvis alle tilstødende ansigter mødes vinkelret , er tallet en "rigtig kasse . " På grund af de mange forskellige former , dækker ikke en enkelt formel, alle kasser , men du kan løse for den mængde af specifikke kasse figurer ved hjælp af calculus , vektor eller trigonometriske argumenter .

Du skal bruge:
Kikkerter
. eller .
Teleskop .
eller .
Spotting Scope

Vector metode : . Parallelepipedum


1
betegne tre tilstødende sider møde en af parallelepipedum hjørner , da de tre vektorer "a" , "b " og " c " . Betegne deres længder "A" , " B "og " C " . Betegne vinklen mellem " a "og" b " som " u03B1 " ( alfa ) , vinklen mellem " b " og "c " som " u03B2 " ( beta ) og vinklen mellem " c " og "a" som " u03B3 " ( gamma ) .
2 .
Vend parallelepipedum ( hvis kun i dit sind ) , så ansigtet afgrænset af " en " og " b " er på bunden . Brug af standard vektor matematik , tage korset produkt af " en " og " b " . Den resulterende krydsprodukt er vektoren vinkelret på ansigtet , at vektorer "A " og " b " grænse . Længden af den resulterende vektor er lig den del af bunden ansigtet . Årsagen er , fordi størrelsen af den krydsproduktet lig " AB synd u03B1 ", af definitionen af krydsproduktet . Da formen på parallelepipedum er den samme fra bunden ansigtet hele vejen op til toppen , skal du kun har tilbage til at formere højden med arealet af bunden ansigtet .
3 .
Identificer højden af parallelepipedum og ganges med arealet af basen . Resultatet er mængden af parallelepipedum . Med andre ord , er formlen for rumfanget af et parallelepipedum basisarealet gange højden . Dette er det samme som at tage dot produkt af " c " og krydsproduktet af " en " og " b " . Dette er sandt , fordi den prik produktet er , per definition , længden af "c " gange længden af krydsproduktet af " en " og " b " gange cosinus til " u03B8 " . Her, " u03B8 " er vinklen mellem " c " og vektor vinkelret på bunden ansigtet . Med andre ord , " c cos u03B8 " er højden af parallelepipedum . Så volumen er " c * ( axb ) " , hvis " * " står for dot produkt . Hvis du ikke kender højden , men kender længder "A" , " B "og " C " , og vinklerne " u03B1 " , " u03B2 "og " u03B3 " , derefter gå videre til næste afsnit nu!

Trigonometriske metode : . Parallelepipedum


1
Løs for det ukendte vinkel " u03B8 ", når du ikke har den omgivende sider i vektor form af første minder om trigonometriske identitet cx ( axb )=a ( c * b )-b ( c * a) .
2 .
Skriv størrelsen af den venstre side af ligningen som ( ABsin ¦Á ) C synd ¦È . Nu den ene side af ligningen kan skrives i form af " ¦È " . Så du kan i sidste ende løse for " cos ¦È " .
3 .
Tag prik produktet af vektor a ( c * b )-b ( c * a ) med sig selv . Dette kommer sig at være ( ACB cos ¦Â-BCA cos ¦Ã ) * ( ACB cos ¦Â-BCA cos ¦Ã ) , eller ( ABC ) ^ 2 [ cos ( 2 ) # x3B2-2 cos ¦Â cos ¦Ã cos ¦Á + cos ( 2 ) ¦Ã ] ( Recall , at a * a=a ^ 2 og a * b=AB cos ¦Á . ) Her cos ( 2 ) u03B2 betyder ( cos u03B2 ) ^ 2 . Dette resultat er lig med kvadratet af størrelsen af den højre side af ligningen i Trin 1 .
4 .
Square resultatet af trin 2 for at sidestille det med trin 3 . Eliminere ( ABC ) ^ 2 første for bekvemmelighed . Derfor er synd ( 2 ) u03B1 synd ( 2 ) u03B8=cos ( 2 ) u03B2-2 cos u03B2 cos u03B3 cos u03B1 + cos ( 2 ) # x3B3 .
5
Skriv " synd u03B8 " i form af " cos u03B8 ", da ABC synd u03B1 cos u03B8 er . lydstyrken , du ønsker at løse for . Således synd ( 2 ) u03B1 [ 1- cos ( 2 ) u03B8 ]=cos ( 2 ) u03B2-2 cos u03B2 cos u03B3 cos u03B1 + cos ( 2 ) u03B3
6
Løse for " synd u03B1 cos u03B8 " som følger : .
synd ( 2 ) u03B1 ; cos ( 2 ) u03B8=synd (2) u03B1-cos ( 2 ) u03B2 + 2 cos u03B2 cos u03B3 cos u03B1-cos ( 2 ) # x3B3 ;=1-cos ( 2 ) u03B1-cos ( 2 ) u03B2 + 2 cos u03B2 cos u03B3 cos u03B1-cos ( 2 ) u03B3 .
Derfor endelige formlen for rumfanget af et parallelepipedum er :
ABC u221A [ 1-cos ( 2 ) u03B1-cos ( 2 ) u03B2-cos ( 2 ) u03B3 + 2 cos u03B2 cos u03B3 cos u03B1 ] .

Calculus metode : . Afkortet Square Pyramid


1
Afgør om calculus ville være en nyttig fremgangsmåde ved at beslutte , om tallet kan skæres i tynde skiver , hver med samme form . For eksempel vil en firkantet pyramide med den spidse top skåret-er en stak af tynde kvadrater-efterlader en overflade parallel til bunden ansigtet . Formen er konstant , selvom størrelsen varierer .
2 .
betegner bunden bredden af det trunkerede pyramide "B" og top bredde " T " . Angiver højden "H " . Så integralet af figurens volumen er u222B x ^ 2 dy , hvor " x "er den varierende bredde kvadrater , " dy " er forskellen højden af kvadrater og forholdet mellem de to variabler er y=H-H ( XT ) /( BT ) . Du kan se dette , fordi siderne i en pyramide er lineær , så en lineær ligning gælder . Desuden, når "x " er " B " , " y " skal være " 0 " . Når " x " er " T " , " y " skal være " H "
3
Skriv integralet u222B x ^ 2 dy i form af en variabel : .
dy svarer til- dx H /( BT ) .
Den negative vil komme ud i vasken efter at integrere fra x=B til x=T , som er mindre .
4 .
Tag integral. Minde om, at integraler er produkter af integranden gange forskellen bredde . Under integralet af et polynomium som x ^ 2 er et simpelt spørgsmål om at lægge 1 til eksponenten , så dividere med nye eksponenten . Næste , stik i de to endepunkter , " B " og " T " , og tage differencen mellem de to af dem . Med andre ord , er resultatet [-H /( BT ) ] [ ( T ) ^ 3 /3-( B ) ^ 3 /3 ] , eller H /( BT ) [ ( B ) ^ 3 /3-( T ) ^ 3 /3 ] .

gode råd og advarsler


  • Ifølge fysikeren Jagdish Mehra , regnede nobelpristageren Richard Feynman de generelle formel i andet afsnittet ovenfor med hjælp af en ven i tre uger , mens de studerer trigonometri i high school . Hans trigonometri lærer tilbød problemet op til klassen som en udfordring , at ingen af hans tidligere studerende havde løst .

  • Kommentarer

    Vi ønsker, at dine argumenter og meninger er velkomne. Være objektiv og medfølelse. Mange mennesker læser hvad du skriver. Gør debat til en bedre oplevelse for både dem og dig selv. Mellem 20:00 og 08:00 det er lukket for kommentering og vi fjerner automatisk kommentarer med sjofle ord, defineret af vores moderatorer.

    link:

    • Om os
    • Advertising
    • Fortæl redaktionen
    • Få nyhedsbreve
    • RSS-feed

    Redaktør: Karin Christofferse
    Nyheder redactor: Morten Nyberg

    Kundeservice: Stig Ole Salomon,
    Flemming Sørensen

    Tel: +45 00 99 99 00
    Fax: +45 00 99 99 01

    © Copyright 2014 Einsten.net - All rights reserved.