hvordan man bruger en linje integreret for at finde massen af wiren

Et fælles problem at teste calculus studerende på deres forståelse af den linje integreret er at bestemme den samlede masse af en ledning, der varierer fra tæthed . Selvfølgelig , hvis densiteten er konstant gennem hele længden af wiren problemet er trivielt --- bare et spørgsmål om at gange den totale længde af den konstante tæthed . En linje integreret i relation til en tråd af varierende tæthed , behandler den fulde længde af wiren i små stykker , opsummering massen af alle disse små stykker
1 .
Oprette en linje integreret ved hjælp af en " meget lille " eller differentieret længde " s eller ds gange funktionen , der giver tæthed af wire i forskellige positioner f ( x , y ) .
antage, at tæthedsfunktionen er f ( x , y )=4xy . Den integranden som vil blive integreret vil derefter blive 4xy ds .
2 .
Skriv ds i form af en parameter t , som relaterer x og y. Antag, at du får at vektoren r ( t )=x ( t ) i + y ( t ) j , hvor r , i og j er vektorer , spor ud kurven af wiren . ( i og j er den enhed vektorer i x-og y-retning. ) Bemærk , at en differentieret længde i xy planet er u221A ( dx ^ 2 + dy ^ 2) . Dette kan omskrives til at tage forskellene ud fra under de radikale tegnet som følger : dt u221A [ ( dx /dt ) ^ 2 + ( dy /dt ) ^ 2 ]
3
.
Skriv integranden i form af parameteren t.
antage, at wiren er beskrevet af r ( t )=x ( t ) i + y ( t ) j , hvor x ( t )=t og y ( t )=t ^ 2-1 , for t=1 til 3 . Derefter fortsætte med vores tidligere eksempel , f ( x , y )=8 ( y +1) /x=8t , ds bliver dt u221A [ ( dx /dt ) ^ 2 + ( dy /dt ) ^ 2 ]=dt # x221A [ ( 1 ) ^ 2 + ( 2t ) ^ 2 ]=dt u221A [ 4t ^ 2-1 ] . Så den fulde integranden er u221A [ 4t ^ 2-1 ]---[ 8T ] dt .
4 .
Integrer over længden af wiren med hensyn til parameteren t.
For eksempel er den linie i vores eksempel fra t = 1 til 3 . Så masse tråden u222B u221A [ 4t ^ 2-1 ]---[ 8T ] dt , som er let løses med viden om den kæde regel for at få forskellen på ( 2 /3 ) [ 4T ^ 2-1 ] ^ 1 . 5 evalueres 3 og 1 , eller ( 2 /3 ) [ 35 ^ 1,5-3 ^ 1,5 ]=134,58 . Dette er massen af wiren i vores eksempel .


Kommentarer

Vi ønsker, at dine argumenter og meninger er velkomne. Være objektiv og medfølelse. Mange mennesker læser hvad du skriver. Gør debat til en bedre oplevelse for både dem og dig selv. Mellem 20:00 og 08:00 det er lukket for kommentering og vi fjerner automatisk kommentarer med sjofle ord, defineret af vores moderatorer.

link:

  • Om os
  • Advertising
  • Fortæl redaktionen
  • Få nyhedsbreve
  • RSS-feed

Redaktør: Karin Christofferse
Nyheder redactor: Morten Nyberg

Kundeservice: Stig Ole Salomon,
Flemming Sørensen

Tel: +45 00 99 99 00
Fax: +45 00 99 99 01

© Copyright 2014 Einsten.net - All rights reserved.